數學危機

2011-01-04

334新學制下的數學必修部分 (Maths - Core)，
需要同學了解一些數學的歷史，其中一個就是數學的三次危機，
大家可以無聊時看看那些數學故仔︰

第一次數學危機

畢達哥拉斯（約公元前580年─公元前300年）是一位古希臘的數學家及哲學家，他曾有一句名言「凡物皆數」，意思是萬物的本原是數，數的規律統治萬物。不過要注意的是，在那個年代，他們相信一切數字皆可以表達為整數或整數之比：分數。簡單而言，他們所認識的只是「有理數」Rational number。
當時的人只有「有理數」Rational number 的觀念。對於整數，在數線上我們可以知道是一點點分散的，而且點與點之間的距離是一。那就是說，整數不能完全填滿整條數線，但有理數則不同了。我們發現任何兩個有理數之間，必定有另一個有理數存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等。因此令人很容易以為「有理數」可以完全填滿整條數線，「有理數」就是等於一切數，可惜這個想法是錯的。
畢達哥拉斯發現了畢氏定理 Pyth. Theorem。從這個定理中，腰長為１的等腰直角三角形的斜邊長度，竟然是一個無法寫成為有理數的數「開方2」。亦即是說有理數Rational number並非一切數，存在有理數Rational number以外的數，有理數不可以完全填滿整條數線，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當時的數學界來說，是一個極大的震撼，也是歷史上的「第一次數學危機」。
「無理數」Irrational number的出現解決了「第一次數學危機」它說出了「有理數」的不完備性，亦即有理數不可以完全填滿整條數線，證明了在有理數之間還有「罅隙」的事實，現在加添了無理數Irrational number，數線終於被填滿了。

第二次數學危機

古代的希臘是研究哲學的人聚集的地方，在云云的哲學學派之中，其中一派主張「存在是靜止的，不變的，永恒的，變化與運動只是幻覺。」至於這個主張的理念，不是我們的討論範圍，不過，這個學派的學者之一：芝諾，為了論證運動是幻象，提出了「飛矢不動」的「理論」：箭在每一瞬間都要佔據一定的空間位置，即箭在每一瞬間存在，即箭在每一瞬間都是靜止的，又怎可能動呢？
他所提出的「飛矢不動」是一個歪論，數學家們要從問題的核心「動」作為開始，要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速率，而速率便是所走的路程和所用的時間的比，換句話說，要證明箭在每一瞬間都是動，即要證明箭在每一瞬間都有速率，但這是一個難題，因為如何找出每一瞬間的速率呢？
要解決每一瞬間的速率（velocity）的問題，物理學家牛頓發現了微積分 Calculus。其中微分 Differentiation便正好可以計算出物體的瞬時速度。這個發現震驚了整個數學界和物理學界，而且除了瞬時速度，微積分Calculus更在不同方面有廣泛的應用，並得到了瞬速的發展。
因為微積分必須要考慮所謂「無窮小量」(limit tends to 0)的問題，所謂「無窮小量」是指一個「非零而又極接近零的量」(x tends to 0)，而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有任何空間和距離」。換句話說，「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量，那麼，「無窮小量」是零嗎？如果解不到這個問題，所謂無堅不摧的微積分，便無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水，所以數學史上稱之為「第二次數學危機」。
另一位的數學家柯西（Cauchy），重新建立微積分學的基礎──數學分析。數學分析是透過一套嚴格的數學語言來說明甚麼是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚麼是既不是零又不是非零的問題。而這次的危機亦安然渡過，並為數學的大家庭增添了一位成員「數學分析」，也提醒了數學家們要繼續要求嚴格，不可鬆懈。

第三次數學危機

在村有一位手藝高超的理髮師，他只給村上一切不給自己刮臉的人刮臉，那麼，他給不給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他是個不給自己刮臉的人，他應當給自己刮臉；如果他給自己刮臉，由於他只給不給自己刮臉的人刮臉，他就不應當給自己刮臉了。他應該如何呢？
以上的故事就是著名的「羅素悖論」。羅素的悖論確是給當時正為了微積分的嚴格基礎被建立而歡欣鼓舞的數學家們潑了一盆冷水，但這個理髮師的力量有多大，竟然可以推倒數學大廈呢？在較高等的數學裡，我們會把整個數學的基礎納入「集合論」Set 之中，換句話說，集合論便是數學大廈的基石，所以當集合論中出現矛盾時，建基於此之上的數學大廈也會站不住腳，而羅素的悖論卻是向著這個基石作出致命的一擊，這個「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」的矛盾是在集合論中的矛盾，也就是在數學基礎中的矛盾，只要矛盾一日存在，數學大廈也不可穩固，更會在倒塌的危機，這個也是數學的第三次危機。
(以上資料來源於坊間的網頁，而第三次的數學危機其實沒有一個明確的定案，有人更認為第三次的數學危機至今尚未獲得圓滿的解決。)

當然，對於同學的三次數學危機可能係你地 mid-term、final、同埋公開試。 我暫時沒有能力解決歷史上的數學危機，但我可以幫你解決你地的三大危機，各大regular course現己接受報名，你仲唔快d來，我地班房見。 ^^

Herman Yeung


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